高校数学 数学I 二次関数において、平方完成は避けて通れない最重要スキルです。平方完成 やり方 わかりやすく整理すると、実は以下の決まった3つのステップを忠実になぞるだけで、どのような難解な係数であっても機械的に解を導くことができます。
具体例として、つまずきやすい係数付きの式 \(y = 2x^2 - 8x + 5\) を標準形 \(y = a(x - p)^2 + q\) へ変形してみます。
【ステップ1：\(x^2\) の係数で、\(x\) の項までを括る】
定数項（\(+5\)）はそのまま後ろに残し、\(x^2\) と \(x\) の項だけを係数「2」でくくります。
\(y = 2(x^2 - 4x) + 5\)
【ステップ2：括弧内を無理やり2乗の形にし、余分な2乗を引く】
括弧の中の \(x\) の係数（\(-4\)）を半分にした数値（\(-2\)）を使って、\((x - 2)^2\) を作ります。ただし、これを展開すると \(x^2 - 4x + 4\) となり、余計な \(+4\) が生まれてしまうため、直後に「\(- 4\)（半分の2乗）」を引いて帳尻を合わせます。
\(y = 2\{(x - 2)^2 - 4\} + 5\)
【ステップ3：大括弧を外して定数項をまとめる】
外側の係数「2」を分配法則で掛け合わせます。ここで「\(-4\)」にも「2」を掛け忘れないことが最大の注意点です。
\(y = 2(x - 2)^2 - 8 + 5\)
\(y = 2(x - 2)^2 - 3\)
この結果、二次関数の放物線の軸と頂点は、軸が直線 \(x = 2\)、二次関数の頂点の座標は \((2, -3)\) であると確定します。括弧の中身の符号が \((x - p)\) でマイナスになっているため、頂点の \(x\) 座標は符号が反転して正の「2」になるという視覚的トラップを常に意識しておく必要があります。
