コーシー・シュワルツの不等式は非常に魅力的である反面、諸刃の剣でもあります。この道具を実戦で武器にできる受験生と、逆に足をすくわれる受験生の間には、思考プロセスにおける決定的な分水嶺が存在します。
迷わずコーシー・シュワルツを選択すべきケース
- 条件式に「変数の2乗の和」が含まれ、目的関数が「1次の和」である場合（空間ベクトルの内積や球面上における座標問題など）。
- 変数が正負の符号を問わず動く実数である場合（相加相乗平均が使えない場面）。
- 3変数以上の対称式・交代式で、1文字消去を行うと計算爆発が目に見えている場合。
コーシー・シュワルツを封印し、正攻法を取るべきケース
- 1変数の増減表や微分（導関数）で機械的に片付く見通しが立っている場合。無理に不等式パズルに持ち込むよりも、微積分を用いた方が論理的破綻のリスクが圧倒的に低くなります。
- 等号成立条件を計算した結果、変数が満たすべき制約条件（定義域や他の拘束条件）の外側に外れてしまう危険がある場合。
- 変数の正値性が保証されており、逆数同士の掛け算で文字が完全に消去できる場合（この場合は相加相乗平均が最善手となります）。
優れた数学徒は、公式の派手さに目を奪われることなく、「まずは定義と正攻法（1文字消去・微分）を検討し、計算負荷を回避する必然性がある時のみ特殊な不等式を展開する」という健全な思考の優先順位を堅持しています。
