方べきの定理がなぜ成立するのかという数学的根拠は、すべて「相似な三角形の証明」によって明快に説明できます。証明の流れを理解しておくことは、記述式試験対策だけでなく、公式のど忘れを防ぐ強力な保険となります。
【パターン①：円内部の交点】
弦 $AB$ と $CD$ の交点を $P$ とし、$A$ と $C$、$D$ と $B$ を結んで $\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ を作ります。
同一の弧 $CB$ に対する円周角は等しいため $\angle PAC = \angle PDB$ です。また、対頂角は等しいので $\angle APC = \angle DPB$ となり、2組の角がそれぞれ等しいため$\triangle PAC \sim \triangle PDB$（相似）が成立します。対応する辺の比から $PA : PD = PC : PB$ となり、外項の積と内項の積を結べば $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が導かれます。
【パターン②：円外部の交点】
点 $P$ から伸びる2直線と円の交点を $A, B$ および $C, D$ とし、$A$ と $C$、$D$ と $B$ を結びます。円に内接する四角形の性質から「内角は対角の外角に等しい」ため、$\angle PAC = \angle PDB$ となります。共通の角 $\angle P$ と合わせて2組の角が等しくなり、$\triangle PAC \sim \triangle PDB$が導かれ、同様の比の計算から公式が成立します。
【パターン③：接線の場合】
接点 $T$ と交点 $A, B$ を結んで $\triangle PAT$ と $\triangle PTB$ を考えます。ここで接弦定理を用いると $\angle PTA = \angle PBT$ となり、共通角 $\angle P$ と合わせて $\triangle PAT \sim \triangle PTB$ が証明されます。辺の比 $PA : PT = PT : PB$ から、直ちに $PA \cdot PB = PT^2$ が導出できます。
