概念を理解したところで、実際の試験形式に即した例題で使い分けの定着を図りましょう。
例題1：順列Pを使う基本問題
【問題】 1から6までの数字が書かれたカードが1枚ずつある。この中から異なる3枚を選んで並べ、3桁の整数を作るとき、できる整数は何通りあるか。
【解説】
百の位、十の位、一の位という「並び順（位置の区別）」が存在します。「123」と「321」は異なる整数になるため、順列Pを使用します。
$$\text{計算：}_6\mathrm{P}_3 = 6 \times 5 \times 4 = \mathbf{120通り}$$
例題2：組合せCを使う確率問題
【問題】 赤玉4個、白玉6個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉1個、白玉2個が出る確率を求めよ。
【解説】
同時に3個取り出すため、取り出す順番は区別せず組合せCで処理します。
すべての玉（合計10個）を区別して考えます。
- 全ての取り出し方（分母）：$$_10\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120通り$$
- 赤1個・白2個の取り出し方（分子）：$$_4\mathrm{C}_1 \times _6\mathrm{C}_2 = 4 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 4 \times 15 = 60通り$$
したがって、求める確率は以下の通りです。
$$\text{確率} = \frac{60}{120} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$
【プロの結論】数学的思考を武器にする人・つまずき続ける人の違い
試験対策において、確率・場合の数が得意になる人と苦手なまま終わる人には明確な分岐点があります。
- つまずく人の思考パターン：問題文のキーワード（「並べる」「選ぶ」）だけを見て反射的に公式を当てはめようとする。問題の言い回しが少し変化しただけで対応できなくなる。
- 得点源にする人の思考パターン：「事象の構造」に目を向け、まず対象をCで選び出し、必要に応じて階乗（!）で並べ替えるという2段階分解思考を行う。
実務やSPI・公務員試験対策において最も安全かつ汎用性が高いのは、「$_n\mathrm{P}_r$」を無理に使おうとせず、「$_n\mathrm{C}_r$ でグループを選んでから、必要なら $r!$ で並べる」というアプローチです。この思考法を身につければ、円順列や同じものを含む順列などの応用問題でも一切の混乱がなくなります。
