Q1：多項式を $2x - 3$ で割ったときの余りを求める場合、何を代入すればいいですか？
A1：割る式が $0$ になる値を代入するため、$2x - 3 = 0$ を解いた $x = \frac{3}{2}$ を $P(x)$ に代入します。すなわち、余りは $P(\frac{3}{2})$ となります。分数になる場合でも、恒等式 $(2x - 3)Q(x) + R$ において $x = \frac{3}{2}$ を代入すれば $(0) \times Q(\frac{3}{2}) = 0$ となり商が消える原理は全く同じです。
Q2：剰余の定理を使うと商は絶対に求められないのですか？
A2：剰余の定理単体では、余り $R$ のみを直接求めるため商 $Q(x)$ の具体的な式はわかりません。商を具体的に求めたい場合は、多項式の筆算を行うか、または1次式で割る場合に威力を発揮する「組立除法（くみたてじょうほう）」を活用するのが最も効率的です。
Q3：入試問題で「余りを求めよ」と指示されていないのに、剰余の定理を使う場面はありますか？
A3：極めて頻繁にあります。代表例が「$P(x)$ が割り切れるように未知の係数 $k$ を定めよ」という問題です。「割り切れる＝余りが0」を意味するため、剰余の定理（因数定理）を用いて $P(\alpha) = 0$ という方程式を立て、未定係数を決定します。また、極限の計算や微分の導関数定義において、不定形 $\frac{0}{0}$ を解消する因数をあぶり出す際にも背景理論として機能します。
