「Me」は動詞の目的語、または前置詞の後ろに使われます。誰かが何かを「私に」する時、あるいは「私を」どうする時に登場します。「Tell me」「Give me」「Call me」は日常会話で最も頻繁に耳にする表現でしょう。
前置詞との組み合わせも重要です。「for me」(私のために)、「with me」(私と一緒に)、「to me」(私に)といった形で使われます。「This is important to me」(これは私にとって重要だ)という文では、「me」が前置詞「to」の目的語になっています。
よくある間違いが「between you and I」という表現です。正しくは「between you and me」となります。前置詞「between」の後ろには目的格が来るというルールに従う必要があるからです。