有理数と無理数を見分ける最大の基準は、「分母・分子ともに整数である分数 $\frac{b}{a}$（ただし分母 $a \neq 0$）の形で表せるかどうか」に尽きます。数学における「有理（Rational）」の語源は、比（Ratio）が存在することに由来しており、「整数の比で表せる数＝有理数」「整数の比で表せない数＝無理数」と捉えるのが最も自然なアプローチです。
数を見分ける際、小数のパターンを3つに整理すると迷いが一切なくなります。
第1に、0.5や0.125のように途中で割り切れて桁が終わる「有限小数」は、必ず $\frac{1}{2}$ や $\frac{1}{8}$ のように分数化できるため、すべて有理数です。
第2に、0.3333…（=$\frac{1}{3}$）や0.142857142857…（=$\frac{1}{7}$）のように、同じ数字の並びが無限に繰り返される「循環小数」も、10倍・100倍して引き算を行う方程式の手続きによって必ず整数の分数へと変換できるため、有理数に分類されます。
第3に、小数の桁が規則性を持たずに永遠に続く「循環しない無限小数」こそが、まさに無理数の正体です。整数の分数に変換することが原理的に不可能な数がここに該当します。
