Q1：判別式Dを使うべきタイミングはいつですか？
A1：左辺を因数分解しようとしても整数範囲で思いつかないとき、または文字定数が含まれていて共有点の個数が分からないときに使用します。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算し、$D > 0$ なら解の公式で共有点を求めに行き、$D \leqq 0$ なら即座にグラフの浮き沈み（接する、または宙に浮く）を判断して解を決定します。
Q2：「解なし」と「すべての実数」がどうしても逆になってしまいます。
A2：式だけを見ているのが混同の原因です。$x^2$ の係数をプラスに揃えた上で、「$y = ax^2 + bx + c$ という放物線が、水面（x軸）より上にあるか下にあるか」をイメージしてください。水面上に全体が浮いているとき（$D < 0$）、「水面より上（$> 0$）にある部分はどこか」と聞かれれば「グラフ全部＝すべての実数」ですし、「水面下（$< 0$）にある部分はどこか」と聞かれれば「1箇所もない＝解なし」と自然に判断できます。
Q3：上に凸のグラフ（$x^2$の係数がマイナス）のまま解いてはいけないのですか？
A3：数学の理論上は上に凸のまま解くことも可能です。しかし、上に凸のときは不等号と「外側・内側」の関係が上下逆転するため、思考の混乱やケアレスミスが飛躍的に増大します。ケアレスミスを防ぎ試験で確実に点をもぎ取るためには、最初に両辺に $-1$ を掛けて「常に下に凸」の型に持ち込むのが実戦的なセオリーです。
