知識を定着させるために、試験で頻出する典型的な3乗の公式の練習問題をステップ形式で解いていきます。
【問1：展開】次の式を展開せよ。
$(2x - 3)^3$
【解説】
公式 $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ において、$a = 2x$、$b = 3$ を代入します。
$(2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 - 3^3$
$= 8x^3 - 3 \cdot (4x^2) \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 9 - 27$
$= \mathbf{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}$
【問2：因数分解】次の式を因数分解せよ。
$x^3 + 27$
【解説】
$27 = 3^3$ であることに着目し、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を適用します（$a=x, b=3$）。
$x^3 + 3^3 = (x + 3)\{x^2 - (x \cdot 3) + 3^2\}$
$= \mathbf{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}$
【問3：係数付き因数分解】次の式を因数分解せよ。
$8a^3 - 125b^3$
【解説】
$8a^3 = (2a)^3$、$125b^3 = (5b)^3$ であるため、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ に当てはめます。
$(2a)^3 - (5b)^3 = (2a - 5b)\{(2a)^2 + (2a \cdot 5b) + (5b)^2\}$
$= \mathbf{(2a - 5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2)}$
このように、数字を $2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$、$5^3=125$ といった「立方形の数値」として認識する感覚を養うことが、3次式の計算スピードを劇的に高めます。
